# 델라나이 삼각분할

## 개요

델라이 삼각분할(Delaunay Triangulation)은산 기하학 중요한 개념 중 하나로 주어진 평면상의 점 집합을 삼각형으로 분할하는 방법입니다. 이 분할 방식은 삼각형의 내부에 다른 점이 포함되지 않도록 하는 **델라나이 조건**(Delaunay Condition)을 만족시킵니다. 즉, 각 삼각형의 외접원(circumcircle) 안에 다른 점이 존재하지 않아야 합니다. 이러한 특성 덕분에 델라나이 삼각분할은 삼각형의 형태가 가능한 한 "균일"하고 "뾰족하지 않게" 유지되며, 수치적 안정성과 시각적 품질이 뛰어난 분할을 제공합니다.

델라나이 삼각분할은 1934년 러시아 수학자 보로노이의 제자인 보리스 델라나이(Boris Delaunay)에 의해 정립되었으며, 현재는 GIS(지리정보시스템), 컴퓨터 그래픽스, 유한 요소 해석, 로봇 경로 계획, 메쉬 생성 등 다양한 분야에서 널리 활용되고 있습니다.

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## 기본 개념

### 삼각분할이란?

삼각분할(Triangulation)은 2차원 평면상에 주어진 점 집합을 서로 겹치지 않는 삼각형들로 분할하는 과정을 말합니다. 이때 모든 점은 삼각형의 꼭짓점이 되며, 삼각형들은 전체 점 집합의 볼록 껍질(Convex Hull)을 채워야 합니다.

### 델라나이 조건

델라나이 삼각분할의 핵심은 다음과 같은 조건을 만족하는 것입니다:

> **임의의 삼각형의 외접원 내부에는 다른 입력 점이 존재하지 않아야 한다.**

이 조건을 만족하면 삼각형들이 가능한 한 "둥글게" 형성되며, 매우 뾰족한(acute 또는 obtuse 각이 큰) 삼각형의 생성을 방지합니다. 이는 수치 계산에서 오차를 줄이고, 메쉬의 품질을 향상시키는 데 중요합니다.

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## 수학적 성질

델라나이 삼각분할은 다음과 같은 중요한 수학적 성질을 가집니다:

- **최대 최소 각 원칙**(Max-Min Angle Criterion):  
  가능한 모든 삼각분할 중에서 가장 작은 내각을 최대화하는 분할입니다. 즉, 삼각형들이 가능한 한 정삼각형에 가까워지도록 구성됩니다.

- **보로노이 다이어그램과의 쌍대성**(Duality with Voronoi Diagram):  
  델라나이 삼각분할은 **보로노이 다이어그램**(Voronoi Diagram)과 기하학적 쌍대(dual) 관계에 있습니다. 즉, 보로노이 다이어그램의 이웃한 영역을 연결하는 선분이 델라나이 삼각분할의 간선이 됩니다.

- **유일성**:  
  일반적인 경우(4점 이상이 한 원 위에 있지 않을 경우) 델라나이 삼각분할은 유일하게 존재합니다.

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## 알고리즘

델라나이 삼각분할을 생성하는 대표적인 알고리즘은 다음과 같습니다:

### 1. 인크리멘탈 삽입법 (Incremental Insertion)

- 점을 하나씩 추가하면서 기존 삼각분할을 갱신하는 방식.
- 새로운 점이 삽입되면, 그 점을 포함하는 외접원 내부에 있는 삼각형들을 찾아 제거하고, 새로운 삼각형을 생성.
- **로이드 알고리즘**(Lawson’s algorithm)을 활용하여 국소적으로 최적화.

### 2. 병합 정렬 기반 (Divide and Conquer)

- 점 집합을 반으로 나누고, 각 부분에 대해 델라나이 삼각분할을 생성한 후 병합.
- 시간 복잡도가 $ O(n \log n) $로 효율적.
- 구현은 복잡하지만, 대용량 데이터에 적합.

### 3. 스위핑 라인 (Sweep Line) - 보로노이 기반

- Fortune’s 알고리즘을 통해 보로노이 다이어그램을 생성한 후, 이를 쌍대화하여 델라나이 삼각분할을 도출.
- 이 방식은 보로노이 다이어그램 생성에 특화되어 있지만, 삼각분할에도 활용 가능.

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## 응용 분야

### 지리정보시스템 (GIS)

- 지형 모델링에서 고도 데이터(등고선)를 기반으로 TIN(Triangulated Irregular Network)을 생성할 때 사용.
- 델라나이 삼각분할은 불규칙한 점 데이터를 자연스럽게 연결하여 지형을 정확히 표현합니다.

### 컴퓨터 그래픽스

- 3D 모델링 및 메쉬 생성에서 표면을 삼각형으로 분할할 때 품질을 보장.
- 렌더링 시 삼각형의 왜곡을 최소화하여 시각적 품질을 향상.

### 유한 요소 해석 (Finite Element Analysis)

- 해석 영역을 메쉬로 분할할 때, 삼각형의 형태가 해석 정확도에 큰 영향을 미침.
- 델라나이 삼각분할은 수치적 안정성을 높이고, 해석 오차를 줄임.

### 로봇 공학

- 경로 계획에서 장애물을 피하는 메쉬 기반 탐색 알고리즘에 활용.
- 델라나이 삼각분할은 자유 공간을 효율적으로 표현.

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## 구현 예시 (의사코드)

```python
def delaunay_triangulation(points):
    # 초기 삼각분할 (초기 큰 삼각형 생성)
    triangulation = initialize_super_triangle(points)
    
    for p in points:
        # 외접원 내부에 p를 포함하는 삼각형 찾기
        bad_triangles = find_triangles_containing_point_in_circumcircle(triangulation, p)
        
        # 경계 선분 추출
        polygon = extract_boundary_edges(bad_triangles)
        
        # 새로운 삼각형 생성
        for edge in polygon:
            triangulation.add_triangle(edge[0], edge[1], p)
        
        # 잘못된 삼각형 제거
        triangulation.remove(bad_triangles)
    
    # 초기 큰 삼각형 제거
    triangulation.remove_super_triangle_vertices()
    
    return triangulation
```

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## 관련 개념

- **보로노이 다이어그램**(Voronoi Diagram):  
  각 점에 대해 가장 가까운 영역을 나누는 평면 분할. 델라나이 삼각분할과 쌍대 관계.

- **TIN**(Triangulated Irregular Network):  
  GIS에서 지형을 표현하는 삼각형 기반 메쉬. 델라나이 삼각분할이 주로 사용됨.

- **컨스트레인드 델라나이 삼각분할**(Constrained Delaunay Triangulation):  
  특정 선분을 간선으로 반드시 포함해야 하는 조건이 있을 때 사용. 도로, 강 같은 지형 요소를 반영할 수 있음.

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## 참고 자료

- De Berg, M., et al. (2008). *Computational Geometry: Algorithms and Applications*. Springer.
- Guibas, L., & Stolfi, J. (1985). "Primitives for the Manipulation of General Subdivisions and the Computation of Voronoi Diagrams." *ACM Transactions on Graphics*.
- [CGAL - Computational Geometry Algorithms Library](https://www.cgal.org/) - 델라나이 삼각분할 구현 제공.

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델라나이 삼각분할은 이론적 우수성과 실용적 가치를 모두 갖춘 공간 분할 기법으로, 현대 기술에서 지속적으로 중요한 역할을 하고 있습니다.